LAS PARADOJAS DE RUSSELL

 

Desde un punto de vista logicista, la matemática es una rama de la lógica: todo concepto matemático deriva de fundamentos lógicos y de proposiciones básicas de la lógica. Esta idea fue formulada por Frege durante las dos décadas finales del siglo XIX, cuando se propuso desarrollar el llamado programa logicista, consistente en deducir toda la matemática de la lógica para darle una base más sólida, a partir de dos puntos: definir los conceptos matemáticos en función de la lógica y demostrar los teoremas matemáticos usando únicamente la lógica (la teoría de conjuntos).

En 1902, Frege tiene en imprenta su libro Las leyes fundamentales de la Aritmética. Recibe una carta de Bertrand Russell en la que le informa del descubrimiento de una contradicción en la teoría de conjuntos, es decir, en la misma base lógica de la matemática. Este descubrimiento echa por tierra todo el trabajo de 20 años de Frege. El caso es que Russell era también seguidor del programa logicista. De hecho, encontró esta contradicción (la llamada paradoja de Russell o también paradoja del barbero) mientras estudiaba las paradojas de Cantor en vistas a la composición de su obra Principia Mathematica, escrita en colaboración con Whitehead, afín al programa logicista. Tras la carta, Frege reconoce que todo su trabajo se tambalea y abandona el programa logicista, buscando refugio en la geometría.

Durante un tiempo, Russell no encuentra salida al golpe en la línea de flotación que él mismo ha dado en la lógica como fundamentación de la matemática. Según él mismo cuenta, mientras Whitehead se encargaba de los aspectos matemáticos del trabajo, él asumía los filosóficos, aunque en un trabajo conjunto, dado que lo que uno escribía era revisado por el otro y nuevamente redactado por el primero. Todo ello al servicio del programa logicista de Frege: “El objeto primario de Principia Mathematica fue mostrar que toda la matemática pura se sigue de premisas puramente lógicas, y que emplea solamente conceptos definibles por medio de términos lógicos” (Russell, La evolución de mi pensamiento filosófico; texto de 1959, pág. 76 de la edición en Alianza Editorial, Madrid, 1976).

Según Russell, toda la matemática procede de la lógica simbólica, es una rama de la lógica. Todos los conceptos matemáticos pueden reducirse a conceptos de la lógica de clases, conceptos definibles en términos de un número pequeño de conceptos lógicos fundamentales. Por este motivo intentó resolver la paradoja que había descubierto, porque debía dar cobertura a todo el trabajo de Frege.

El descubrimiento de Russell es que, a partir “de premisas que todos los lógicos, no importa de qué escuela, habían aceptado siempre, desde los tiempos de Aristóteles, podían deducirse contradicciones”. Russell data este episodio en la primavera de 1901, y se da cuenta de que supone un radical obstáculo para del programa logicista, y el fin de su propia luna de miel lógica (ibid., págs. 76-77).

El descubrimiento de esta paradoja se da en el marco de los estudios de Russell sobre las pruebas de Cantor acerca de los conjuntos infinitos (había descubierto que no existe el número cardinal mayor que todos). A partir de aquí, Russell considera el conjunto de todas las cosas que existen en el universo, cuyo número debe ser el más grande posible, y a partir de aquí pasa a formular un conjunto muy peculiar: la clase que es miembro de sí misma (cuando en términos generales, un conjunto o clase de cosas no es miembro de sí mismo, sino que son sus elementos los que pertenecen al conjunto porque tienen una propiedad que les hace pertenecer a él).

Este tipo de conjuntos infinitos puede tener una formulación positiva:

• La clase de todas las clases (como es también una clase, es miembro de sí misma).
• El libro que contiene todos los libros escritos hasta el momento, que ha de contenerse a sí mismo, conteniendo todos los demás, ad infinitum.
• El cuadro que contiene todos los cuadros pintados hasta ahora, que ha de contenerse a sí mismo, conteniendo todos los demás, ad infinitum.

También tiene una formulación negativa, que es la que le interesa a Russell:

• La clase de cosas que no son tal cosa (es decir, en la que se reúne todo lo demás, incluida ella misma, dado que no es tal cosa).

La paradoja de Russell se desarrolla dentro de la teoría de clases o conjuntos (Frege, Cantor), a partir del concepto de pertenencia:

• Tenemos un conjunto o clase, compuesto de elementos. Tal conjunto reúne elementos que tienen una determinada propiedad: ser gato, ser una cucharilla de té, ser un libro, etc. Un gato particular pertenece al conjunto de los gatos por el hecho de tener la propiedad de "ser gato". Así se define el concepto de pertenencia (∈).
• Un grupo de libros forma un conjunto de libros, por ejemplo. Pero el conjunto de libros, como tal, no es miembro de sí mismo, aunque esté formado por libros, dado que un conjunto de libros no tiene la propiedad "ser libro". Lo mismo para las cucharillas de té, que forman un conjunto que no puede ser miembro de sí mismo porque carece de la propiedad "ser una cucharilla de té".
• El problema surge cuando definimos el conjunto o la clase de “las cosas que no son cucharillas de té”. En este caso, este conjunto sí puede ser miembro de sí mismo, porque comparte con todas las cosas que no son cucharillas de té la propiedad que condiciona la pertenencia al conjunto: "no ser una cucharilla de té" (Russell, La evolución de..., op. cit., pág. 77).
• De esta manera, "el conjunto de las cosas que no son..." o "la clase de las cosas que no son cucharillas de té", puede reunirse en el conjunto de las clases que no son miembros de sí mismas, así que (Russell, La evolución de..., op. cit., pág. 77):

o   Forman a su vez una clase, la clase de todas las clases que no son miembros de sí mismas.

o   A es la clase de las clases que no son miembros de sí mismas. ¿Cómo se entiende la pertenencia a esta clase A? Un elemento pertenece a A si es una clase que no es miembro de sí misma.

o   Si A es miembro de sí misma, participa de la propiedad de pertenencia a A, es decir, no es miembro de sí misma.

o   Si A no es miembro de sí misma, A no participa de la propiedad de pertenencia a A, es decir, es miembro de sí misma.

o   Cada alternativa conduce a la contraria, y esto es una contradicción lógica.

• Hay otra versión, llamada la paradoja del barbero, también ideada por Russell: en un pueblo había un barbero que sólo afeitaba a aquellos que nunca se afeitaban a sí mismos. ¿Se afeitaba el barbero a sí mismo?
• Considerar "el conjunto de los conjuntos que no son miembros de sí mismos" lleva a una contradicción en la teoría de conjuntos, que se suponía iba a fundamentar las leyes de la matemática.

 

A partir de 1902, Russell intenta encontrar una solución a la paradoja, y propone la llamada teoría de los tipos, para organizar los conjuntos de elementos en diferentes niveles. Esta teoría se expone al final de los Principia en una primera versión que el propio Russell admite como provisional. Entre 1903 y 1905 trabajó también en la teoría de las descripciones, aparentemente no relacionada con sus paradojas, pero que contribuyó a dar a la solución de las mismas una mejor formulación (Russell, La evolución de..., op. cit., pág. 81).

Para explicar la teoría de los tipos (o niveles) hay que comenzar definiendo qué es una clase: una clase es un conjunto de cosas que participan de una propiedad común, y que puede componerse de conjuntos más pequeños de tales cosas, o subconjuntos.

Si por ejemplo tengo un conjunto de 8 elementos que le pertenecen (participan de una propiedad común), puedo organizar esos elementos en diferentes agrupaciones, hasta un máximo de 2⁸ grupos diferentes.

En términos generales, una clase de n elementos podrá dar lugar a 2ⁿ subclases, incluso si n es infinito (como es el caso de la clase de los números cardinales, o la clase de las cosas que no son cucharillas). Topamos aquí con la paradoja de Cantor: está claro que 2ⁿ es mayor que n, en cualquier caso, incluso si n es infinito. Es decir, que existen más clases que cosas.

No obstante, lo que Russell propone es que las clases no sean consideradas a su vez como cosas o potenciales elementos de una clase. Hay que distinguir los términos clase y cosa, porque son controvertidos y conducen a paradojas (Russell, La evolución de..., op. cit., pág. 82).

Así, el concepto de clase es una expresión que nos delimita el rango de pertenencia de los elementos de un conjunto, pero ella misma no es un elemento, no debe ser incluida en el cómputo de los elementos de un conjunto, aunque encaje en las condiciones de pertenencia al mismo, como ocurre con las clases de cosas que no son cucharillas. Por eso habla de tipos o niveles:

·         Nivel 1: el conjunto de todos los conjuntos de gatos.

·         Nivel 2: subconjuntos de gatos negros, conjuntos de gatos siameses, etc.

·         Nivel 3: elementos (gatos, cucharillas de té, etc.).

Russell diferencia entre conjuntos normales (aquellos que tienen elementos, y no se contienen a sí mismos, porque no comparten las propiedades de sus elementos), y conjuntos singulares (aquellos que sí pueden contenerse a sí mismos, porque comparten las propiedades de sus elementos, como por ejemplo, "no ser una cucharilla de té", y pueden ser conjuntos infinitos). La idea es que no debemos mezclar unos con otros, porque, de hecho, en el conjunto singular estamos cometiendo el error de mezclar un nivel con otro. Por ejemplo, el elemento "conjunto de cosas que no son cucharillas de té" y el elemento "cafetera" son cosas que no son cucharillas de té, pero su pertenencia corresponde a conjuntos de diferentes niveles que no deben mezclarse.

Así, las proposiciones que se refieren a una determinada totalidad de proposiciones no deben incluirse en esa totalidad, porque operan en otro nivel, son de otro tipo. Si las mezclamos ocurre lo mismo que en la paradoja del mentiroso (en tanto que no distingue entre lenguaje y metalenguaje). Por eso Russell habla de tipos, de proposiciones de primer orden o nivel (las que se refieren a totalidades), y las de segundo orden, las que se refieren a subconjuntos por debajo de las totalidades (Russell, La evolución de..., op. cit., pág. 84).

La solución de la paradoja de Russell viene a ser equivalente a la propuesta por Tarski ante la paradoja del mentiroso, en la que diferencia entre lenguaje natural y metalenguaje, que no deben combinar sus diferentes proposiciones. De hecho, Russell pone la paradoja del mentiroso como ejemplo del funcionamiento de su teoría de los tipos.